Théorie Fondamentale des Probabilité

A) Notion d'expérience Aléatoire

Definition

  • Une expérience ayant un nombre fini d'issues possibles est appelée expérience aléatoire; il est généralement noté "E ".

  • L'ensemble de toutes les issues possibles est appelé l'univers des possibilités associé à cette expérience; il est généralement noté "Ω ".

  • Chaque sous ensemble de "Ω" contenant un seul élément, c'est à dire chaque issue possible est appelée événement élémentaire.

B) Vocabulaire des événements

Definition

Soit "E" une expérience aléatoire et "Ω" l'univers des possibilités associé à cette expérience.

  • L'ensemble de toutes les parties de Ω, Ρ(Ω), est l'ensemble des événements liés à Ω.

  • "Ω" est l'événement certain.

  • "Ø" est l'événement impossible.

  • est l'événement contraire.

Example

Soit l'expérience aléatoire qui consiste à jeter une pièce de monnaie.

  • Ω={P, F} ; (P: Pile, F: Face).

  • Les événements élémentaires sont: {P}, {F}.

  • A: "avoir pile" est un événement élémentaire (A={P}).

  • B: "avoir pile et face" est un événement impossible (B=Ø).

  • C: "avoir pile ou face" est un événement certain (C=Ω).

  • : "ne pas avoir pile" est un événement contraire de l'événement A (={F} ).

C) Composition d'événements

a) Événement " A U B"

  • L'événement " A U B" se réalise si l'un des deux événements au moins se réalise.

Example

  • E: "jeter un dé" ; A:"avoir un chiffre pair"; B:"avoir un chiffre impair".

Trouver AUB?.

  • A U B: "avoir un chiffre pair ou impair".

Ω={1,2,3,4,5,6}; A={2,4,6}; B={1,3,5}. d'où A U B={1,2,3,4,5,6}=Ω.

b) Événement "A ∩ B"

  • L'événement "A ∩ B" se réalise si A et B se réalisent en même temps.

Example

  • E: "jeter un dé" ; A:"avoir un chiffre pair"; B:"avoir un chiffre supérieur ou égal à 3".

Trouver A ∩ B?.

  • A ∩ B: "avoir un chiffre pair et supérieur ou égal à 3".

Ω={1,2,3,4,5,6}; A={2,4,6}; B={3,4,5,6}. d'où A ∩ B={4,6}.

Reminder

  • On dit que deux événements A et B sont incompatibles s'il ne peuvent pas se réaliser en même temps: A ∩ B=Ø.

  • Par exemple, E:"jeter une pièce de monnaie"; A:"avoir pile"; B:"avoir face". A={Pile}; B={Face}; A ∩ B=Ø.

Donc A et B sont incompatibles.

c) Différence de deux événements "A\B"

d) Différence symétrique de deux événements "A Δ B"

  • Remarque: "Lois  De Morgan"

D) Axiomes du calcul des probabilités

  • Soit "E" une expérience aléatoire et "Ω" son univers associé. On appelle probabilité, notée P, toute application de l'ensemble des événements P(Ω) dans R vérifiant les trois axiomes suivants (Axiomes de Kolmogorov):

Conséquences:

Cas particulier important: l'équiprobabilité:

E) Probabilité conditionnelle et théorème de Bayes

a) Probabilité conditionnelle:

Reminder

Indépendance de deux événements:

  • On dit que A et B sont deux événements indépendants si:

    P(A ∩ B)=P(A) x P(B).

b) Théorème de Bayes pour deux événements:

  • On a P(A ∩ B)= P(A/B).P(B)=P(B/A).P(A). D'où:

Syntax

Cas général: Si est un système complet d'événements (les événements "Bi" sont incompatibles deux à deux et leurs union est égale à "Ω"; et si A est un événement quelconque, alors:

  • Formule des probabilités totales:

  • Formule de Bayes: